Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．點A坐標的為，點C的坐標為．

（Ⅰ）求拋物線的解析式；

（Ⅱ）點M為線段上一點（點M不與點A、B重合），過點M作i軸的垂線，與直線交于點E，與拋物線交于點P，過點P作交拋物線于點Q，過點Q作軸于點N．若點P在點Q左邊，當矩形的周長最大時，求的面積；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當矩形的周長最大時，連接，過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線交于點G（點G在點F的上方）．若，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或

【解析】

（Ⅰ）將點A，點C坐標代入解析式可求解；
（Ⅱ）設M（x，0），P（x，-x2-2x+3），利用對稱性可求點Q（-2-x，-x2-2x+3），可求MP=-x2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x，則可用x表示矩形PMNQ的周長，由二次函數的性質可求當矩形PMNQ的周長最大時，點P的坐標，即可求點E，點M的坐標，由三角形面積公式可求解；
（Ⅲ）先求出點D坐標，即可求DQ=，可得FG=4，設F （m，-m2-2m+3），則G （m，m+3），用含有m的式子表示FG的長度即可求解．

解:（Ⅰ）依題意

解得

所以

（Ⅱ）

拋物線的對稱軸是直線

，，其中

∵P、Q關于直線對稱

設Q的橫坐標為a

則

∴

∴

∴，

∴周長

當時，d取最大值，此時，

∴

設直線的解析式為

則，解得

∴設直線的解析式為

將代入，得

∴，

∴

∴

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當矩形的周長最大時，此時點，與點C重合，

∴

∵

∴

過D作軸于K，

則，

∴

∴是等腰直角三角形，

∴

設，則

∴，解得，

當時，

當時，．

∴或