Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（1，0）．已知拋物線y＝x2+mx﹣2m（m是常數），頂點為P．

（Ⅰ）當拋物線經過點A時，求頂點P的坐標；

（Ⅱ）若點P在x軸下方，當∠AOP＝45°時，若函數值y＞0，求對應自變量x的取值范圍；

（Ⅲ）無論m取何值，該拋物線都經過定點H．當∠AHP＝45°時，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）頂點P（﹣，﹣）；（Ⅱ）當函數值y＞0，對應自變量x的取值范圍為x＜5﹣或x＞5+；（Ⅲ）拋物線解析式為y＝x2﹣x+或y＝x2﹣x+．

【解析】

（Ⅰ）把點A代入拋物線解析式求得m，將拋物線配方成頂點式即求得P的坐標．

（Ⅱ）由點P在x軸下方，當∠AOP＝45°得點P在直線y＝x上．把拋物線配方得用m表示的點P坐標，代入y＝x即求得m的值．令拋物線y＝0解方程求得拋物線與x軸兩交點坐標，由圖象可知，在拋物線兩側有函數值y＞0，即得到x的取值范圍．

（Ⅲ）發現當x＝2時，y＝4，所以定點H（2，4）．過點AA作AB⊥PH于點B，過點B作DC⊥x軸于點C，過點H作HD⊥CD于點D，構造△ABC≌△BHD，利用對應邊AC＝BD，BC＝HD求點B坐標，再求直線BH解析式，把點用m表示的點P坐標代入BH解析式即求得m的值．由于滿足∠AHP＝45°的點P可以在AH左側或右側，故需分情況討論．

（Ⅰ）把A（1，0）代入y＝x2+mx﹣2m得：

1+m﹣2m＝0，解得：m＝1

∴拋物線解析式為y＝x2+x﹣2＝（x+）2﹣

∴頂點P（﹣，﹣），

（Ⅱ）過P作PH⊥x軸于點H，如圖1

∵點P在x軸下方且∠AOP＝45°

∴△POH是等腰直角三角形，P在第四象限

∴OH＝PH，

∵y＝x2+mx﹣2m＝（x+）2﹣﹣2m

∴P（﹣，﹣﹣2m）（m＜0）

∴﹣＝+2m

解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣10

∴拋物線解析式為y＝x2﹣10x+20

當y＝0時，解得：x1＝5﹣，x2＝5+

由圖象可知，當函數值y＞0，對應自變量x的取值范圍為x＜5﹣或x＞5+．

（Ⅲ）當x＝2時，y＝4+2m﹣2m＝4

∴無論m取何值，該拋物線都經過定點H（2，4）

過點A作AB⊥PH于點B，過點B作DC⊥x軸于點C，過點H作HD⊥CD于點D，

∴∠ABH＝∠ACB＝∠BDH＝90°

∴∠ABC+∠DBH＝∠ABC+∠BAC＝90°

∴∠BAC＝∠DBH

∵∠AHP＝45°

∴△ABH是等腰直角三角形，AB＝BH

在△ABC與△BHD中

∴△ABC≌△BHD（AAS）

∴AC＝BD，BC＝HD

設點B坐標為（a，b）

①若點P在AH左側，即點B在AH左側，如圖2

∴AC＝1﹣a，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝2﹣a

∴ 解得：

∴點B（﹣，）

設直線BH解析式為y＝kx+h

∴ 解得：

∴直線BH：y＝x+

∵點P（﹣，﹣﹣2m）在直線BH上

∴（﹣）+＝﹣﹣2m

解得：m1＝﹣，m2＝﹣4

∵m＝﹣4時，P（2，4）與點H重合，要舍去

∴拋物線解析式為y＝x2﹣x+，

②若點P在AH右側，即點B在AH右側，如圖3

∴AC＝a﹣1，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝a﹣2

∴ 解得：

∴點B（，）

設直線BH解析式為y＝kx+h

∴ 解得：

∴直線BH：y＝﹣x+

∵點P（﹣，﹣﹣2m）在直線BH上

∴﹣×（﹣）+＝﹣﹣2m

解得：m1＝﹣，m2＝﹣4（舍去）

∴拋物線解析式為y＝x2﹣x+

綜上所述，拋物線解析式為y＝x2﹣x+或y＝x2﹣x+.