Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，過點A（﹣ ，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點，且B、C兩點的縱坐標分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根

（1）求線段BC的長度；
（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由；
（3）若點D在直線AC上，且DB=DC，求點D的坐標；
（4）在（3）的條件下，直線BD上是否存在點P，使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x2﹣2x﹣3=0，

∴x=3或x=﹣1，

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∴BC=4，

（2）

解：∵A（﹣ ，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA= ，OB=3，OC=1，

∴OA2=OBOC，

∵∠AOC=∠BOA=90°，

∴△AOC∽△BOA，

∴∠CAO=∠ABO，

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB；

（3）

解：設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣ ，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為：y=﹣ x﹣1，

∵DB=DC，

∴點D在線段BC的垂直平分線上，

∴D的縱坐標為1，

∴把y=1代入y=﹣ x﹣1，

∴x=﹣2 ，

∴D的坐標為（﹣2 ，1），

（4）

解：設直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點E，

把B（0，3）和D（﹣2 ，1）代入y=mx+n，

∴ ，

解得 ，

∴直線BD的解析式為：y= x+3，

令y=0代入y= x+3，

∴x=﹣3 ，

∴E（﹣3 ，0），

∴OE=3 ，

∴tan∠BEC= = ，

∴∠BEO=30°，

同理可求得：∠ABO=30°，

∴∠ABE=30°，

當PA=AB時，如圖1，

此時，∠BEA=∠ABE=30°，

∴EA=AB，

∴P與E重合，

∴P的坐標為（﹣3 ，0），

當PA=PB時，如圖2，

此時，∠PAB=∠PBA=30°，

∵∠ABE=∠ABO=30°，

∴∠PAB=∠ABO，

∴PA∥BC，

∴∠PAO=90°，

∴點P的橫坐標為﹣ ，

令x=﹣ 代入y= x+3，

∴y=2，

∴P（﹣ ，2），

當PB=AB時，如圖3，

∴由勾股定理可求得：AB=2 ，EB=6，

若點P在y軸左側時，記此時點P為P1，

過點P1作P1F⊥x軸于點F，

∴P1B=AB=2 ，

∴EP1=6﹣2 ，

∴sin∠BEO= ，

∴FP1=3﹣ ，

令y=3﹣ 代入y= x+3，

∴x=﹣3，

∴P1（﹣3，3﹣ ），

若點P在y軸的右側時，記此時點P為P2，

過點P2作P2G⊥x軸于點G，

∴P2B=AB=2 ，

∴EP2=6+2 ，

∴sin∠BEO= ，

∴GP2=3+ ，

令y=3+ 代入y= x+3，

∴x=3，

∴P2（3，3+ ），

綜上所述，當A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為（﹣3 ，0），（﹣ ，2），（﹣3，3﹣ ），（3，3+ ）．

【解析】本題考查二次函數的綜合問題，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定，等腰三角形的性質，垂直平分線的判定等知識，內容較為綜合，需要學生靈活運用所知識解決．（1）解出方程后，即可求出B、C兩點的坐標，即可求出BC的長度；（2）由A、B、C三點坐標可知OA2=OCOB，所以可證明△AOC∽△BOA，利用對應角相等即可求出∠CAB=90°；（3）容易求得直線AC的解析式，由DB=DC可知，點D在BC的垂直平分線上，所以D的縱坐標為1，將其代入直線AC的解析式即可求出D的坐標；（4）A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形，可分為以下三種情況：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分別求出P的坐標即可．
【考點精析】掌握因式分解法和線段垂直平分線的判定是解答本題的根本，需要知道已知未知先分離，因式分解是其次．調整系數等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數，間接配方顯優勢；和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．