Question

5．某水果大賣場每日批量進貨銷售某種水果，假設日銷售量與日進貨量相等．設該水果進貨量為x千克，每千克進貨成本為y元，每千克售價為s元，y與x的關系如圖，s與x滿足關系式：s=-$\frac{1}{15}$x+12．
（1）求線段AB所在直線的解析式，并寫出自變量的取值范圍．
（2）設賣場銷售這種水果的日利潤為w元，問該水果進貨量為多少時，獲得的日銷售利潤w最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法即可求出線段AB所在直線的解析式，并根據圖象寫成自變量x的取值范圍即可；
（2）分兩種情況進行計算比較：①當0＜x＜80時，②當80≤x≤120時，利用銷售利潤=每千克水果的銷售利潤×數量，用x的式子表示，再根據二次函數的最大值即可解答．

解答 解：（1）設線段AB所在直線解析式為：y=kx+b，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{80k+b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{40}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴線段AB所在直線的解析式為：y=-$\frac{1}{40}$x+6（0＜x＜80）；
（2）設獲得的日銷售利潤為W，根據題意，
①當0＜x＜80時，
W=[（-$\frac{1}{15}$x+12）-（-$\frac{1}{40}$x+6）]•x=-$\frac{1}{24}$x²+6x=-$\frac{1}{24}$（x-72）²+216，
當x=72時，W_最大值=216；
②當80≤x≤120時，W═（-$\frac{1}{15}$x+12-4）x=-$\frac{1}{15}$x²+8x=-$\frac{1}{15}$（x-60）²+240，
當x＞60時，W隨x的增大而減小，故當x=80時，W最大值=$\frac{640}{3}$，
∵216＞$\frac{640}{3}$，
∴當水果進貨量為72千克時，獲得的日銷售利潤最大，最大利潤是216元．

點評 本題主要考查二次函數的應用，在求函數最大值的題目中，要注意函數的取值范圍．