Question

【題目】已知：AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使AB=AC，連結AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DC=BD；
（2）求證：DE為⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，
∴DC=BD

（2）證明：連接半徑OD，

∵OA=OB，CD=BD，

∴OD∥AC，

∴∠ODE=∠CED，

又∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°，

∴∠ODE=90°，

即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．

【解析】（1）根據已知條件AB是⊙O的直徑，因此連接AD，得出AD⊥BC，再根據等腰三角形三線合一的性質AB=AC，即可證得結論。
（2）根據OA=OB，CD=BD，得出OD∥AC，再根據已知DE⊥AC，可證得OD⊥DE，即可證得結論。
【考點精析】掌握平行線的判定與性質和等腰三角形的性質是解答本題的根本，需要知道由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．