Question

【題目】如圖，過原點的直線y1＝mx（m≠0）與反比例函數y2＝ （k＜0）的圖象交于A、B兩點，點A在第二象限，且點A的橫坐標為﹣1，點D在x軸負半軸上，連接AD交反比例函數圖象于另一點E，AC為∠BAD的平分線，過點B作AC的垂線，垂足為C，連接CE，若AD＝2DE，△AEC的面積為．

（1）根據圖象回答：當x取何值時，y1＜y2；

（2）求△AOD的面積；

（3）若點P的坐標為（m，k），在y軸的軸上是否存在一點M，使得△OMP是直角三角形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣1＜x＜0或x＞1；（2）3；（3）存在，點M的坐標為（0．﹣2）或（0，﹣4）．

【解析】

（1）根據題意得到點A，點B關于原點對稱，求得點B的橫坐標為1，于是得到當x取﹣1＜x＜0或x＞1時，y1＜y2；

（2）連接OC，OE，求得OA＝OB，得到∠OAC＝∠OCA，根據角平分線的定義得到∠OAC＝∠DAC，推出AD//OC，得到 ，即可得到答案；

（3）作EF⊥x軸于F，AH⊥x軸于H，則EF//AH，求得DF＝FH，根據三角形中位線定理得到EF＝ AH，求得y＝﹣，得到A（﹣1，2），于是得到P（﹣2，﹣2），根據直角三角形的性質即可得到結論．

解：（1）∵直線 ＝mx（m≠0）與反比例函數 （k＜0）的圖象交于A、B兩點，且點A的橫坐標為﹣1，

∴點A，點B關于原點對稱，

∴點B的橫坐標為1，

∴當x取﹣1＜x＜0或x＞1時，y1＜y2；

（2）連接OC，OE，

由圖象知，點A，點B關于原點對稱，

∴OA＝OB，

∵AC⊥CB，

∴∠ACB＝90°，

∴OC＝ AB＝AO，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC為∠BAD的平分線，

∴∠OAC＝∠DAC，

∴∠OCA＝∠DAC，

∴AD//OC，

∴，

∵AD＝2DE，

∴AE＝DE，

∴；

（3）作EF⊥x軸于F，作AH⊥x軸于H，如上圖，

則EF//AH，

∵AD＝2DE，

∴DE＝EA，

∵EF//AH，

∴，

∴DF＝FH，

∴EF是△DHA的中位線，

∴EF＝ AH，

∵

∴OFEF＝OHHA，

∴OH＝ OF，

∴OH＝HF，

∴DF＝FH＝HO＝ DO，

∴，

∴，

∴k＝﹣2，

∴y＝，

∵點A在y＝的圖象上，

∴把x＝﹣1代入得，y＝2，

∴A（﹣1，2），

∵點A在直線y＝mx上，

∴m＝﹣2，

∴P（﹣2，﹣2），

在y軸上找到一點M，使得△OMP是直角三角形，

當∠OMP＝90°時，PM⊥y軸，

則OM＝2，

∴點M的坐標為（0．﹣2）；

當∠OPM＝90°時，過P作PG⊥y軸于G，則△OPM是等腰直角三角形，

∴OM＝2PG＝4，

∴點M的坐標為（0．﹣4）；

綜上所述，點M的坐標為（0．﹣2）或（0，﹣4）．