Question

【題目】如圖(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足為D．AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F

（1）求證：CE=CF．

（2）將圖（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使點E’落在BC邊上，其它條件不變，如圖（2）所示．試猜想：BE'與CF有怎樣的數量關系?請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）相等。證明見解析

【解析】

（1）根據平分線的定義可知∠CAF=∠EAD，再根據已知條件以及等量代換即可證明CE=CF，

（2）根據題意作輔助線過點E作EG⊥AC于G，根據平移的性質得出D′E′=DE，再根據已知條件判斷出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根據等量代換可知BE′=CF．

（1）證明：∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠EAD，

∵∠ACB=90°，

∴∠CAF+∠CFA=90°，

∵CD⊥AB于D，

∴∠EAD+∠AED=90°，

∴∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF，

∴∠CFA=∠CEF，

∴CE=CF；

（2）猜想：BE′=CF．

證明：如圖，

過點E作EG⊥AC于G，連接EE′，

又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，

∴ED=EG，

由平移的性質可知：D′E′=DE，

∴D′E′=GE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°

∵CD⊥AB于D，

∴∠B+∠DCB=90°，

∴∠ACD=∠B，

在△CEG與△BE′D′中，

，

∴△CEG≌△BE′D′（AAS），

∴CE=BE′，

由（1）可知CE=CF，

∴BE′=CF．