Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，且AB＝6.點C是⊙O上的一動點，連接AC，BC，在AC的延長線上取一點D，使得∠CBD＝∠DAB，點G為DB的中點，點E為BG的中點，連接AE交BC于點F.

(1)試判斷直線BD與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)當∠CGB＝60°時，求的長；

(3)當AE∥CG時，連接GF，若AF＝4，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）直線BD與⊙O相切，詳見解析；（2）π；（3）8

【解析】

（1）根據圓周角定理，由AB是⊙O的直徑，可得∠DCB=∠ACB=90°，故有∠D+∠CBD=90°；再由∠CBD=∠DAB，可得∠D+∠DAB=90°，即∠ABD=90°，可得結論．

（2）因為點G是Rt△BCD斜邊BD的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得CG=BG=BD．又有∠CGB=60°，故△BCG是等邊三角形，求得∠DBC=60°，進而得∠ABC=30°．根據圓周角定理有∠AOC=2∠ABC=60°，再由半徑r=AB=3代入弧長公式即求得的長．

（3）由AE∥CG和E為BG中點可證得點F為BC中點，又因為CG=BG=BD，故FG⊥BC，進而得AC∥FG，所以四邊形AFGC是平行四邊形，所以有BG=CG=AF=4，BD=2BG=8．

解：(1)直線BD與⊙O相切，理由如下：

∵AB是⊙O的直徑

∴∠BCD＝∠ACB＝90°，

∴∠D＋∠CBD＝90°，

∵∠CBD＝∠DAB，

∴∠D＋∠DAB＝90°，

∴∠ABD＝90°，

即BD⊥AB，

∴直線BD與⊙O相切

圖1

(2)如圖1，連接OC

∵∠BCD＝90°，點G為DB的中點

∴BG＝CG＝DG＝BD

∵∠CGB＝60°

∴△BCG是等邊三角形

∴∠DBC＝60°

∴∠ABC＝∠ABD－∠DBC＝30°

∴∠AOC＝2∠ABC＝60°

∵直徑AB＝6

∴半徑r＝3

∴的長為

圖2

(3)如圖2，連接FG，∵點E是BG中點

∴BE＝EG

∵AE∥CG

∴

∴BF＝CF，即點F是BC中點

∵BG＝CG

∴FG⊥BC

∴∠CFG＝∠ACB＝90°

∴FG∥AC

∴四邊形AFGC是平行四邊形

∴CG＝AF＝4

∴BG＝CG＝4

∴BD＝2BG＝8