Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C為下方的一動點，連結OC，過點O作OD⊥OC交BC于點D，過點C作AB的垂線，垂足為F，交DO的延長線于點E．

（1）求證：EC＝ED．

（2）當OE＝OD，AB＝4時，求OE的長．

（3）設＝x，tanB＝y．

①求y關于x的函數表達式；

②若△COD的面積是△BOD的面積的3倍，求y的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OE＝；（3）①y＝（0＜x＜1），②y＝．

【解析】

（1）先證明∠ECD=∠EDC，即可證明EC＝ED；

（2）先證明△ECD是等邊三角形，即可說明∠E=60°，然后再說明△EOC是直角三角形，最后解直角三角形即可；

（3）①連接AC.先證明x＝＝，再證得;令OC=k，則OF=kx，然后再利用勾股定理求得CF、AF，即可求得函數解析式；

②作OH⊥BC于H，設BD=m，根據相似三角形的性質用m表示出OH、BH，然后代入函數解析式即可．

（1）證明：∵OD⊥OC，

∴∠COD＝90°，

∴∠OCD+∠ODC＝90°，

∵EC⊥AB，

∴∠CEB＝90°，

∴∠B+∠ECB＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠B＝∠OCD，

∴∠ODC＝∠ECB，

∴EC＝EB．

（2）解：∵OE＝OD，OC⊥ED，

∴CE＝CE，

∵EC＝ED，

∴EC＝ED＝CD，

∴△ECD是等邊三角形，

∵∠E＝60°，

在Rt△EOC中，

∵∠EOC＝90°，OC＝AB＝2，

∴OE＝＝．

（3）解：①連接AC．

∵EC＝ED，∠EOC＝90°

∴＝＝sin∠ECO，

∵∠OFC＝90°，

∴sin∠ECO＝，

∴x＝＝，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵CE⊥AB，

∴∠AFC＝90°，

∴∠ACF+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，

∴∠ACF＝∠B，

∴tan∠B＝tan∠ACF＝＝y，

令OC＝k，則OF＝kx，CF＝＝＝k，

∴AF＝OA﹣OF＝k﹣kx＝k（1﹣x），

∴y＝＝＝（0＜x＜1）．

②作OH⊥BC于H．設BD＝m，

∵△COD的面積是△BOD的面積的3倍，

∴CD＝3BD＝3m，CB＝4m，

∵OH⊥BC，

∴CH＝BH＝2m，

∴HD＝m，

∵∠OCH+∠COH＝90°，∠COH+∠DOH＝90°，

∴∠OCH＝∠DOH，

∵∠OHC＝∠OHD＝90°，

∴△OHC∽△DHO，

∴＝，

∴OH2＝2m2，

∴OH＝m，

∴y＝tanB＝＝＝．