Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，以點A（1，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于B，C兩點，與y軸交于D，E兩點．

（1）直接寫出B，C，D點的坐標；
（2）若B、C、D三點在拋物線y=ax2+bx+c上，求出這個拋物線的解析式及它的頂點坐標．
（3）若圓A的切線交x軸正半軸于點M，交y軸負半軸于點N，切點為P，∠OMN=30°，試判斷直線MN是否經過B、C、D三點所在拋物線的頂點？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，連接AD，得OA=1，AD=2，

∴OD= ，

∴D（0，﹣ ），

∵點A（1，0）為圓心，以2為半徑的圓，

與x軸交于B、C兩點，

∴B（﹣1，0），C（3，0）

（2）

解：∵B（﹣1，0），C（3，0），D（0，﹣ ），

∴將B，C，D三點代入拋物線y=ax2+bx+c得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為 ；

∵ ，

∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣ ）

（3）

解：如圖2，連接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2，

∴AM=4，

∴M（5，0），

∵ON=MO×tan30°= ，

∴N（0，﹣ ），

設直線MN的解析式為y=kx+b，

由于點M（5，0）和N（0，﹣ ）在直線MN上，則 ，解得 ，

∴直線MN的解析式為 ，

∵當x=1時，y=﹣ ，

∴點（1，﹣ ）在直線 上，

即直線MN經過拋物線的頂點

【解析】（1）連接AD，由垂徑定理可求得OD的長，可求得D點的坐標，由半徑和A點坐標可求得B、C的坐標；（2）利用待定系數法可求得拋物線解析式，化為頂點式可求得其頂點坐標；（3）連接AP，在Rt△APM中，可求得OM的長，可求得M點的坐標，從而可求得ON的長，可求得N點坐標，從而可求得直線MN的解析式，再把拋物線的頂點坐標代入進行判斷即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一次函數的性質的相關知識，掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小．