Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，點P由B出發沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）求證：△DEQ∽△BCD；
（2）連接PF，在上述運動過程中，五邊形PFCDE的面積是否發生變化？說明理由
（3）設△PEQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關式．

Answer 1

分析：（1）利用AD∥BC可得出△EDQ∽△FBQ，再利用平移的性質得出EF∥CD，得出△FBQ∽△CBD，進而得出△DEQ∽△BCD；
（2）易得△PDE≌△FBP，故有S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD，即五邊形的面積不變；
（3）過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N．由題意知，四邊形CDEF是平行四邊形，可證得△DEQ∽△BCD，得到

DE

BC

=

EQ

CD

，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到

PQ

BD

=

PN

BM

，求得PN的值，利用S_△PEQ=

1

2

EQ•PN得到y與t之間的函數關系式．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴△EDQ∽△FBQ，
∵線段EF由DC出發沿DA方向勻速運動，
∴EF∥CD，
∴△FBQ∽△CBD，
∴△DEQ∽△BCD；

（2）解：如圖1，在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
在△PDE和△FBP中，

DE=PB ∠EDP=∠PBF DP=BF

，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD=8

6

．
∴在運動過程中，五邊形PFCDE的面積不變；

（3）解：如圖2，
∵線段EF由DC出發沿DA方向勻速運動，
∴EF平行且等于CD，
∴四邊形CDEF是平行四邊形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴△DEQ∽△BCD．
∴

DE

BC

=

EQ

CD

，
∴

t

10

=

EQ

4

．
∴EQ=

2

5

t．
過B作BM⊥CD，交CD于M，過P作PN⊥EF，交EF于N，
∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，
∴CM=

1

2

CD=2cm，
∴BM=

102-22

=4

6

（cm），
∵EF∥CD，
∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，
又∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BQF=∠BFG，
∵ED∥BC，
∴∠DEQ=∠QFB，
又∵∠EQD=∠BQF，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ，
∴ED=DQ=BP=t，
∴PQ=10-2t．
又∵△PNQ∽△BMD，
∴

PQ

BD

=

PN

BM

．
∴

10-2t

10

=

PN

4 6

．
∴PN=4

6

（1-

t

5

），
∴S_△PEQ=

1

2

EQ×PN=

1

2

×

2

5

t×4

6

（1-

t

5

）=-

4 6

25

t²+

4 6

5

t．

點評：本題考查了相似三角形和全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的面積公式等知識，熟練利用相似三角形的性質表示出PN的長是解題關鍵．