Question

【題目】問題情景：
如圖，在直角坐標系xOy中，點A、B為二次函數y=ax2（a＞0）圖象上的兩點，且點A、B的橫坐標分別為m、n（m＞n＞0），連接OA、AB、OB．設△AOB的面積為S時，解答下列問題：

（1）探究：當a=1時，

	mn	m﹣n	S
m=3，n=1	3	2
m=5，n=2	10	3

當a=2時，

	2mn	m﹣n	S
m=3，n=1	6	2
m=5，n=2	20	3

（2）歸納證明：對任意m、n（m＞n＞0），猜想S=（用a，m，n表示），并證明你的猜想．
（3）拓展應用：
若點A、B的橫坐標分別為m、n（m＞0＞n），其它條件不變時，△AOB的面積S=（用a，m，n表示）．

Answer 1

【答案】
（1）3；15；6；30；
（2）
amn（m﹣n）
（3）
amn（m﹣n）
【解析】（1.）解：探究：
如圖1，設直線AB交y軸于點C，過點A作AD⊥y軸于點D，過B作BE⊥y軸于點E，

當a=1時，
∵A、B在拋物線上，
∴A（m，m2），B（n，n2），
∴AD=m，BE=n，
設直線AB解析式為y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直線AB解析式為y=（m+n）x﹣mn，
令x=0可得y=﹣mn，
∴OC=mn，
∴S△AOB=S△OCA﹣S△OCB= OCAD﹣ OCBE= OC（AD﹣BE）= mn（m﹣n），
當m=3，n=1時，可得S= ×3×2=3，
當m=5，n=2時，可得S= ×10×3=15；
同理可得當a=2時，S= ×2mn（m﹣n）=mn（m﹣n），
當m=3，n=1時，S= ×6×2=6，
當m=5，n=2時，S= ×20×3=30；
所以答案是：3；15；6；30；
(2.)歸納證明：可猜想S= amn（m﹣n）．
證明如下：同圖1，
∵A、B在拋物線上，
∴A（m，am2），B（n，an2），
∴AD=m，BE=n，
設直線AB解析式為y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直線AB解析式為y=a（m+n）x﹣amn，
令x=0可得y=﹣amn，
∴OC=amn，
∴S△AOB=S△OCA﹣S△OCB= OCAD﹣ OCBE= OC（AD﹣BE）= amn（m﹣n）；
所以答案是： amn（m﹣n）；
（3.）解：拓展應用：
如圖2，

同（2）可得S=S△AOB=S△OCA+S△OCB= amn[m+（﹣n）]= amn（m﹣n），
所以答案是： amn（m﹣n）．