Question

【題目】∠MON＝45°，點P在射線OM上，點A，B在射線ON上（點B與點O在點A的兩側），且AB＝1，以點P為旋轉中心，將線段AB逆時針旋轉90°，得到線段CD（點C與點A對應，點D與點B對應）．

（1）如圖，若OA＝1，OP，依題意補全圖形；

（2）若OP，當線段AB在射線ON上運動時，線段CD與射線OM有公共點，求OA的取值范圍；

（3）一條線段上所有的點都在一個圓的圓內或圓上，稱這個圓為這條線段的覆蓋圓．若OA＝1，當點P在射線OM上運動時，以射線OM上一點Q為圓心作線段CD的覆蓋圓，直接寫出當線段CD的覆蓋圓的直徑取得最小值時OP和OQ的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1≤OA≤2；（3）OP，OQ

【解析】

（1）利用直角三角形的性質和旋轉的性質確定點C和點D的位置，連接即可得到線段CD；

（2）如圖2（見解析），作交ON于點E，作交OM于點G，利用旋轉的性質、三角形全等的判定定理推出，則有，從而可得點C和點D的位置，然后結合圖形，分析線段CD與射線OM有公共點時，OA的最小值與最大值即可；

（3）先確認當線段CD的覆蓋圓的直徑取得最小值時的直徑，再利用直角三角形的性質和勾股定理求解即可.

（1）

由旋轉性質可知：

是等腰直角三角形

∴D正好落在OM上

因此，補全圖形如圖1所示；

（2）如圖2，作交ON于點E，作交OM于點G

連接PA、PC

由旋轉的性質得：

則點C在射線EF上

同理可證：點D也在射線EF上

因此，當線段AB在射線ON上從左向右平移時，線段CD在射線EF上從下向上平移，且

當點D與點G重合時，OA取得最小值，由（1）可知，最小值為

如圖3，當點C與點G重合時，OA取得最大值，最大值為

綜上，OA的取值范圍是；

（3）如圖4．作PE⊥OM交ON于點E，作EF⊥ON交OM于點Q

當線段CD的覆蓋圓的直徑取得最小值時，直徑為

則圓心點Q為CD的中點，

由（2）可知

在中，

則

在中，

則，解得

故的長度為，的長度為.