Question

已知關于的方程與都有實數根,若這兩個方程有且只有一個公共根,且,則稱它們互為“同根輪換方程”．如與互為“同根輪換方程”．
（1）若關于的方程與互為“同根輪換方程”,求的值；
（2）若是關于的方程的實數根,是關于的方程的實數根,當.分別取何值時,方程與互為“同根輪換方程”,請說明理由．

Answer 1

（1）m＝－12；（2）當p＝q＝－3a時,方程與互為“同根輪換方程”.

試題分析：(1)根據同根方程條件：兩個方程有且只有一個公共根,且,先求出公共根,進而求出的值；
（2）仿照（1）的過程求出.的取值,只要得到p＝q,2a× b＝ab,即可判斷方程與互為“同根輪換方程”.
試題解析：（1）∵方程x²＋4x＋m＝0與x²－6x＋n＝0互為“同根輪換方程”,
∴4m＝－6n．
設t是公共根,則有t²＋4t＋m＝0,t²－6t＋n＝0．
解得,t＝．
∵4m＝－6n．
∴t＝．
∴()²＋4()＋m＝0．
∴m＝－12．
（2）若方程x²＋ax＋b＝0（b≠0）與有公共根．
則由x²＋ax＋b＝0,解得x＝．
∴．
∴b＝－6a²．
當b＝－6a²時,有x²＋ax－6a²＝0,x²＋2ax－3a²＝0．
解得,x₁＝－3a,x₂＝2a；x₃＝－3a,x₄＝a．
若p＝q＝－3a,
∵b≠0,∴－6a²≠0,∴a≠0．
∴2a≠a．即x₂≠x₄．
∵2a×b＝ab,
∴方程x²＋ax＋b＝0（b≠0）與＝0互為“同根輪換方程” ．