Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣(x+1)(x﹣3)與x軸分別交于點A、B(點A在B的右側)，與y軸交于點C，⊙P是△ABC的外接圓．

(1)直接寫出點A、B、C的坐標及拋物線的對稱軸；

(2)求⊙P的半徑；

(3)點D在拋物線的對稱軸上，且∠BDC＞90°，求點D縱坐標的取值范圍；

(4)E是線段CO上的一個動點，將線段AE繞點A逆時針旋轉45°得線段AF，求線段OF的最小值．

Answer 1

【答案】(1)點B的坐標為(﹣1，0)，點A的坐標為(3，0)，點C的坐標為(0，3)；拋物線的對稱軸為直線x＝1；(2)⊙P的半徑為；(3)1＜y＜2；(4)3﹣．

【解析】

(1)分別代入y＝0、x＝0求出與之對應的x、y的值，進而可得出點A、B、C的坐標，再由二次函數的對稱性可找出拋物線的對稱軸；

(2)連接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的長，由等腰直角三角形的性質及圓周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性質可求出BP的值即可；

(3)設點D的坐標為(1，y)，當∠BDC＝90°時，利用勾股定理可求出y值，進而可得出：當1＜y＜2時，∠BDC＞90°；

(4)將△ACO繞點A逆時針方向旋轉45°，點C落在點C′處，點O落在點O′處，根據旋轉的性質可找出點C′的坐標及∠AC′O′＝45°，進而可找出線段C′O′所在直線的解析式，由點E在CO上可得出點F在C′O′上，過點O作OF⊥C′O′于點F，則△OC′F為等腰直角三角形，此時線段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性質即可求出此時OF的長即可.

(1)當y＝0時，﹣(x+1)(x﹣3)＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴點B的坐標為(﹣1，0)，點A的坐標為(3，0)；

當x＝0時，y＝﹣(0+1)×(0﹣3)＝3，

∴點C的坐標為(0，3)；

∵拋物線與x軸交于點(﹣1，0)、(3，0)，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝1；

(2)連接CP、BP，如圖1所示，

在Rt△BOC中，BC＝,

∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，

∴CP＝BP＝BC＝，

∴⊙P的半徑為；

(3)設點D的坐標為(1，y)，當∠BDC＝90°時，BD2+CD2＝BC2，

∴[(﹣1﹣1)2+(0﹣y)2]+[(0﹣1)2+(3﹣y)2]＝10，

整理，得：y2﹣3y+2＝0，

解得：y1＝1，y2＝2，

∴當1＜y＜2時，∠BDC＞90°；

(4)將△ACO繞點A逆時針方向旋轉45°，點C落在點C′處，點O落在點O′處，如圖2所示．

∵AC＝，∠ACO＝45°，

∴點C′的坐標為(3﹣3，0)，∠AC′O′＝45°，

∴線段C′O′所在直線的解析式為y＝﹣x+3﹣3，

∵點E在線段CO上，

∴點F在線段C′O′上．

過點O作OF⊥C′O′于點F，則△OC′F為等腰直角三角形，此時線段OF取最小值，

∵△OC′F為等腰直角三角形，

∴OF＝OC′＝(3﹣3)＝3﹣．