Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是邊AC的中點，CH⊥BM于H．

（1）試求sin∠MCH的值；
（2）問△MCH與△MBC是否相似？請說明理由；
（3）連結AH，求證：∠AHM=45°．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設AC=BC=2a，

∵M是邊AC的中點，

∴CM=AM=a，

∴BM= = = a．

∵∠ACB=90°，CH⊥BM于H，

∴∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°，

∴∠MCH=∠MBC，

∴sin∠MCH=sin∠MBC= = = ；

（2）

解：△MCH∽△MBC．

理由：∵CH⊥BM于H，

∴∠MHC=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠MCB=∠MHC=90°．

∵∠BMC是公共角，

∴△MCH∽△MBC；

（3）

證明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠BAM=45°．

∵由（2）知，△MCH∽△MBC，

∴ = ．

∵M是邊AC的中點，

∴CM=AM，

∴ = ．

∵∠AMH為公共角，

∴△AMH∽△BMA，

∴∠AHM=∠BAM=45°．

【解析】（1）設AC=BC=2a，由M是邊AC的中點得出CM=AM=a，根據勾股定理求出BM的長，再由∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°可得出∠MCH=∠MBC，進而可得出結論；（2）根據CH⊥BM于H，∠ACB=90°可得出∠MCB=∠MHC=90°，由∠BMC是公共角即可得出結論；（3）由（2）可知，△MCH∽△MBC，故 = ，再由CM=AM可知 = ，根據∠AMH為公共角可得出△AMH∽△BMA，故可得出結論．
【考點精析】掌握相似三角形的應用是解答本題的根本，需要知道測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．