Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知OA=2，OC=4，⊙M與軸相切于點C，與軸交于A，B兩點，∠ACD=90°，拋物線經過A，B，C三點．
（1）求證：∠CAO=∠CAD；
（2）求弦BD的長；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P使ΔPBC是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）8；（3），，，．

試題分析：（1）利用切線的性質性質得出∠MCO=90°，進而得出∠OCA=∠MCD=∠MDC，再利用∠OCA+∠OAC=90°求出即可；
（2）利用圓周角定里以及平行線的性質，首先得出四邊形COMN為矩形，進而求出BD=2MN；
（3）分別利用當CP=CB時，△PCB為等腰三角形，當BP=BC時，△PCB為等腰三角形，利用勾股定理求出即可．
（1）證明：如圖1，連接MC，
∵⊙M與y軸相切于點C，∴CM⊥OC，
∴∠MCO=90°，
又∵∠ACD=90°
∴AD為⊙M的直徑，
∵DM=CM，∠ACD+∠ADC=90°
∴∠MCD=∠MDC，
∵∠OCA+∠ACM=∠OCM=90°
∴∠MCD+∠ACM=90°
∴∠OCA=∠MCD=∠MDC
∵∠OCA+∠OAC=90°
∴∠OAC=∠CAD；

（2）解：如圖1，過點M作MN⊥OB于點N，
由（1）可知，AD是⊙M的直徑，
∴∠ABD=90°，
∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°，
∴MN∥BD，
∴，
∵∠OCM=∠CON=∠MNO=90°，
∴四邊形COMN為矩形，
∴MN=CO=4，
∴BD=2MN=8；
（3）解：拋物線的對稱軸上存在點P，使ΔPBC是以BC為腰的等腰三角形.
在⊙M中，弧AC=弧AC，∴∠ADC=∠ABC,
由（1）知，∠ADC=∠OCA,
∴∠OCA=∠OBC
在Rt△CAO和Rt△BOC中，
tan∠OCA=
∴tan∠OBC=
∴OB=2OC=8
∴A（2,0），B（8,0）
∵拋物線經過A，B兩點，
∴A，B關于拋物線的對稱軸對稱，其對稱軸為直線：；
當CP=CB=5時，△PCB為等腰三角形，
在Rt△COB中，
如圖，在Rt△CM中，

80－25=55
,
∴
同理可求的坐標是 
當BP=BC=5時，△PCB為等腰三角形，

∴ 
同理可得坐標為
∴符合條件的點P有四個，坐標分別為，，，．