Question

11．若兩個二次函數的圖象經過適當地上下平移能完全重合則稱這兩個二次函數為“同位二次函數”．
（1）請寫出兩個“同位二次函數”，并說明理由；
（2）已知二次函數y=2x²-4x+6的一個“同位二次函數”圖象的頂點在x軸上，求這個“同位二次函數”；
（3）已知關于x的兩個二次函數y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂是“同位二次函數”，且函數y₁與函數y₁+y₂圖象的頂點相同，求c₂（用含a₁，b₁，c₁的代數式表示）．

Answer 1

分析 （1）可寫出一個頂點在y軸上的兩個二次函數構成“同位二次函數”，如二次函數y=x²和二次函數y=x²+1；
（2）先根據二次函數的性質得到拋物線y=2x²-4x+6的頂點坐標為（1，4），再根據“同位二次函數”的定義把頂點平移到x軸即可得到原二次函數的一個“同位二次函數”；
（3）根據“同位二次函數”的定義得到y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂的對稱軸相同，根據新定義得到a₁=a₂，b₁=b₂，則y=y₁+y₂=2a₁x²+2b₁x+c₁+c₂，然后利用函數y₁與函數y₁+y₂圖象的頂點相同，而它們的橫坐標相同得到$\frac{4{a}_{1}{c}_{1}-{{b}_{1}}^{2}}{4{a}_{1}}$=$\frac{4•2{a}_{1}•（{c}_{1}+{c}_{2}）-4{{b}_{1}}^{2}}{4•2{a}_{1}}$，然后整理后可用含a₁，b₁，c₁的代數式表示c₂．

解答 解：（1）二次函數y=x²和二次函數y=x²+1為“同位二次函數”．理由如下：
因為二次函數y=x²的圖象向上平移1個單位即可得到二次函數y=x²+1的圖象，所以它們為“同位二次函數”；
（2）y=2x²-4x+6=2（x-1）²+4，則拋物線y=2x²-4x+6的頂點坐標為（1，4），把點（1，4）向下平移4個單位所得對應點（1，0）在x軸上，此時平移后的拋物線解析式為y=2（x-1）²，即y=2x²-4x+2，
所以這個“同位二次函數”為y=2x²-4x+2；
（3）因為y₁=a₁x²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂是“同位二次函數”，
所以a₁=a₂，b₁=b₂，
則y=y₁+y₂=2a₁x²+2b₁x+c₁+c₂，
因為函數y₁與函數y₁+y₂圖象的頂點相同，而它們的橫坐標相同，
所以$\frac{4{a}_{1}{c}_{1}-{{b}_{1}}^{2}}{4{a}_{1}}$=$\frac{4•2{a}_{1}•（{c}_{1}+{c}_{2}）-4{{b}_{1}}^{2}}{4•2{a}_{1}}$，
所以c₂=$\frac{{{b}_{1}}^{2}}{4{a}_{1}}$．

點評 本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．也考查了閱讀理解能力．