Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE均為等邊三角形，CE，BD相交于點P，連接PA．

（1）求證：CE＝BD；

（2）求證：PA平分∠BPE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得出AE=AD，再由∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，得出∠DAB=∠EAC，利用SAS可證得△EAC≌△DAB，從而可得出結論．
（2）根據△EAC≌△DAB可得∠ACF=∠ABE，證明△BAE≌△CAF（AAS），得出AE=AF，即可得出結論．

（1）證明：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，

∴AE=AD、AB=AC，
又∵∠EAD=∠BAC=60°，∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，
即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，

，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE=BD；
（2）證明：作AE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如圖所示：
則∠BEA=∠CFA=90°，
由（1）得：△EAC≌△DAB，
∴∠ACF=∠ABE，
在△BAE和△CAF中，

，
∴△BAE≌△CAF（AAS），
∴AE=AF，
∵AE⊥BD于E，AF⊥CE于F，
∴PA平分∠BPE．