Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，F為對角線BD上一點，點E在BA延長線上．

（1）如圖①，若F為矩形對角線AC、BD的交點，點E在BA延長線上且BE＝AC，連接DE，M是DE的中點，連接BM，FM若AD＝6，FM＝，求線段AE的長；

（2）如圖②，過點F作FE⊥BD交AD于點H，交BA延長線于點E，連接AF，當FD＝FE時，求證：HA+AB＝AF．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析

【解析】

（1）由矩形的性質可得AC=BD，BF=DF，由中位線定理可得BE＝2MF，再由勾股定理可求AB的長，即可求AE的長；

（2）如圖②，過點F作FN⊥AF交AB的延長線于點N，由“ASA”可證△EFN≌△DFA，可得∠DAF=∠N，AF=FN，由等腰直角三角形的性質可得AN= ，由“ASA”可證△AHF≌△NBF，可證AH=BN，即可得結論．

（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AC＝BD，BF＝DF，

∵M是DE的中點，BF＝DF，

∴BE＝2MF＝，

∵BE＝AC，AC＝BD

∴BD＝ ，

∴AB＝,

∴AE＝BE﹣AB＝3，

（2）如圖②，過點F作FN⊥AF交AB的延長線于點N，

∵EF⊥DF，EA⊥AD，

∴∠E+∠AHE＝90°，∠ADF+∠DHF＝90°，

∴∠E＝∠ADF，

∵∠AFN＝∠EFD＝90°，

∴∠AFD＝∠EFN，且∠E＝∠ADF，且EF＝DF，

∴△EFN≌△DFA（ASA）

∴∠DAF＝∠N，AF＝FN，且∠AFN＝90°，

∴AN＝AF，

∵∠AFN＝∠EFB＝90°，

∴∠AFH＝∠BFN，且∠DAF＝∠N，AF＝FN，

∴△AHF≌△NBF（ASA），

∴AH＝BN（全等三角形對應邊相等），

∵AN＝AF，

∴AB+BN＝AB+AH＝ AF，