Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC邊上一動點，且不與點A點C重合，連接BD并延長，在BD延長線上取一點E，使AE＝AB，連接CE．

（1）若∠AED＝20°，則∠DEC＝　 　度；

（2）若∠AED＝a，試探索∠AED與∠AEC有怎樣的數量關系？并證明你的猜想；

（3）如圖2，過點A作AF⊥BE于點F，AF的延長線與EC的延長線交于點H，求證：EH2+CH2＝2AE2．

Answer 1

【答案】（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）由等腰三角形的性質可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性質可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；

（2）由等腰三角形的性質可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性質可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得結論；

（3）如圖，過點C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性質可得EH＝EF，CH＝CG，由“AAS”可證△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得結論．

解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，

∴AB＝AC＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，

∵∠AED＝20°，

∴∠ABE＝∠AED＝20°，

∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°

∴∠CAE＝50°，

∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，

∴∠AEC＝∠ACE＝65°，

∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，

故答案為：45；

（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，

理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，

∴∠BAE＝180°﹣2α，

∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，

∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，

∴∠AEC＝45°+α，

∴∠AEC﹣∠AED＝45°；

（3）如圖，過點C作CG⊥AH于G，

∵∠AEC﹣∠AED＝45°，

∴∠FEH＝45°，

∵AH⊥BE，

∴∠FHE＝∠FEH＝45°，

∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，

∴EH＝EF，

∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，

∴∠GCH＝∠FHE＝45°，

∴GC＝GH，

∴CH＝CG，

∵∠BAC＝∠CGA＝90°，

∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，

∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，

∴△AFB≌△CGA（AAS）

∴AF＝CG，

∴CH＝AF，

∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，

∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，

∴EH2+CH2＝2AE2．