Question

【題目】如圖，在中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線，設MN交的角平分線于點E，交的外角平分線于點F．

求證：；

當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？請說明理由；

在的條件下，給再添加一個條件，使四邊形AECF是正方形，那么添加的條件是______．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由見解析；（3）∠ACB為直角的直角三角形時.

【解析】

（1）由平行線的性質和角平分線的定義得出∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，得出EO=CO，FO=CO，即可得出結論；
（2）先證明四邊形AECF是平行四邊形，再由對角線相等，即可得出結論；
（3）由正方形的性質得出∠ACE=45°，得出∠ACB=2∠ACE=90°即可．

解：（1）

∵MN∥BC，
∴∠3=∠2，
又∵CF平分∠GCO，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴FO=CO，
同理：EO=CO，
∴EO=FO．
（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．

∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO，
又∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，
由（1）可知，FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．

（3）當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．

∵由（2）知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
∵MN∥BC，
∴∠AOE=∠ACB
∵∠ACB=90°，
∴∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．

故答案為：∠ACB為直角的直角三角形時.