Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．

填空：

①∠AEB的度數為　 　；

②線段AD，BE之間的數量關系為　 　．

（2）拓展探究

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系，并說明理由．

（3）解決問題

如圖3，在正方形ABCD中，CD=3，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②AD=BE；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由見解析；（3）或

【解析】

（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．

（3）由PD=1可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進行討論．然后，添加適當的輔助線，借助于（2）中的結論即可解決問題．

（1）∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB

∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中

AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=120°

∠AEB=∠CEB-∠CED=60°.

②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．答案為：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如圖 2，

∵△ACB 和△DCE 均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD 和△BCE 中，

∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE 為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵點 A，D，E 在同一直線上，∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）點A到BP的距離為或

理由如下：

∵PD=1，

∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上。

∵∠BPD=90，

∴點P在以BD為直徑的圓上。

∴點P是這兩圓的交點。

①當點P在如圖3①所示位置時，

連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,

過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①。

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45.AB=AD=DC=BC=3,∠BAD=90.

∴BD=2.

∵DP=1，

∴BP=.

∵∠BPD=∠BAD=90，

∴A、P、D. B在以BD為直徑的圓上，

∴∠APB=∠ADB=45.

∴△PAE是等腰直角三角形。

又∵△BAD是等腰直角三角形，點B. E. P共線，AH⊥BP，

∴由(2)中的結論可得：BP=2AH+PD.

∴=2AH+1.

∴AH= .

②當點P在如圖3②所示位置時，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，

過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②。

同理可得：BP=2AHPD.

∴=2AH1.

∴AH=.

綜上所述：點A到BP的距離為或.