Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，且對角線AC為直徑，AD=BC，過點D作DG⊥AC，垂足為E，DG分別與AB及CB延長線交于點F、M．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）若點G為MF的中點，求證：BG是⊙O的切線；

（3）若AD=4，CM=9，求四邊形ABCD的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）證明見解析; （3）S矩形ABCD=24.

【解析】試題分析：（1）根據AC為 O直徑，得到∠ADC=∠CBA=90°，通過全等三角形得到CD=AB，推出四邊形ABCD是平行四邊形，根據矩形的判定定理得到結論；

（2）根據直角三角形的性質得到NB=MF=NF，根據等腰三角形的性質和余角的性質即可得到NB是 O的切線；

（3）根據四邊形ABCD是矩形，推出△ACD∽△DMC，根據相似三角形的性質列比例式得到，從而求得DC=6,根據矩形的面積公式即可得到結論．

試題解析：

（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=∠ABC=90°.

在Rt△ADC和Rt△CBA中，

AC=CA，AD=CB，

∴Rt△ADC≌Rt△CBA，

∴∠CAD=∠ACB，

∴AD∥BC，又AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∠ABC=90°，

∴□ABCD是矩形.

（2）證明：連接OB，

在Rt△MBF中，G是MF的中點，

∴BG=MF=FG，

∴∠GBF=∠GFB=∠AFE.

∵OA=OB,

∴∠OBA=∠OAB.

∵DG⊥AC，

∴∠AFE+∠OAB=90°，

∴∠GBF+∠OBA=90°，

即OB⊥BG，

∴BG是⊙O的切線.

（3）解：由（1）得四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠DCM=90°又AC⊥DG，

∴∠CDM+∠ACD=90°，∠CDM+∠M=90°

∴∠ACD=∠M

又∠ADC=∠DCM，

∴△ACD∽△DMC，

∴，

∴DC2=AD·CM=36，

∴DC=6，

∴S矩形ABCD=AD·CD=24.