Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AD與拋物線y=-x²+bx+c交于A（-1，0）和D（2，3）兩點，點C、F分別為該拋物線與y軸的交點和頂點．
（1）試求b、c的值和拋物線頂點F的坐標；
（2）求△ADC的面積；
（3）已知，點Q是直線AD上方拋物線上的一個動點（點Q與A、D不重合），在點Q的運動過程中，有人說點Q、F重合時△AQD的面積最大，你認為其說法正確嗎？若你認為正確請求出此時△AQD的面積，若你認為不正確請說明理由，并求出△AQD的最大面積．

Answer 1

（1）∵拋物線過點A、D，
∴

0=-a-b+c 3=-4+2b+c

，
∴b=2，c=3，C（0，3），
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴頂點F（1，4）；

（2）如圖1，∵直線AD也過A、D兩點，
∴

0=-k+b 3=2k+b

，
∴k=1，b=1，
∴直線AD的解析式為y=x+1，直線AD與y軸的交點E為（0，1），
則CE=3-1=2，
又∵點A、D分別到y(tǒng)軸的距離為1，2，
∴S_△ADC=S_△ACE+S_△DCE=

1

2

×1×2+

1

2

×2×2=3；

（3）其說法不正確．
如圖2，過Q作QP∥y軸交直線AD于P，則Q（x，-x²+2x+3），P（x，x+1），
∴PQ=-x²+2x+3-x-1=-x²+x+2，
又∵點A、D分別到直線PQ的距離和為3．
∴S_△AQD=S_△AQP+S_△DQP=

1

2

×PQ×3=

1

2

×（-x²+x+2）×3=-

3

2

x²+

3

2

x+3，
S_△AQD=-

3

2

（x-

1

2

）²+

27

8

，
∴當x=

1

2

時，S_△AQD的最大值是

27

8

，
又∵F（1，4），當x=1時，代入直線AD的解析式y(tǒng)=x+1得：y=2，
∴S_△AQD=

1

2

×3×（4-2）=3，
∵

27

8

＞3，
∴點Q、F重合時△AQD的面積最大的說法不正確，△AQD面積的最大值為

27

8

．