【題目】如圖將弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點D，若AD＝2，DB＝4，則弦BC的長是___________．
【答案】
【解析】
作CH⊥AD于H，連接OC、AC、CD，如圖，先利用折疊的性質得AC弧與CDB弧所在的圓為等圓，利用圓周角定理得弧AC=弧CD，所以CA=CD，則AH=DH=1，再利用勾股定理計算出CH=
，AC=
，然后根據圓周角定理得到∠ACB=90°，則利用勾股定理可計算出BC．
解：作CH⊥AD于H，連接OC、AC、CD，如圖，
∵以半圓的一條弦BC為對稱軸將弧BC折疊后與直徑AB交于點D，
∴AC弧與CDB弧所在的圓為等圓，
∴弧AC=弧CD，
∴CA=CD，
∴AH=DH=1.
∵AD＝2，DB＝4，
∴OA=OB=OC=3,
在Rt△OCH中，OC=3，OH=2，
∴CH=，
在Rt△ACH中，AC=
=，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC=
=．
故答案為．
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【題目】一節數學課后，老師布置了一道課后練習題：
如圖1，
是
的直徑，點
在上，
，垂足為
，
，
分別交
、
于點
、
.求證：
.
圖1 圖2
（1）本題證明的思路可用下列框圖表示：
根據上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程.
（2）如圖2，若點和點
在的兩側，、
的延長線交于點，的延長線交于點，其余條件不變，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若
，
，求
的長.
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【題目】如圖，矩形ABCD中，∠ABC的平分線交AD邊于點E，點F是CD的中點，連接EF，若AB＝8，且EF平分∠BED，則AD的長為_________
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【題目】如圖，△ABC為⊙O內接等邊三角形，將△ABC繞圓心O旋轉30°到△DEF處，連接AD、AE，則∠EAD的度數為( )
A.150°B.135°C.120°D.105°
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【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F．
（1）證明：DF是⊙O的切線；
（2）若AC＝3AE，FC＝6，求AF的長．
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【題目】如圖，⊙M經過O點，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB（OA＞OB）的長是方程
的兩根．
（1）求線段OA、OB的長；
（2）若點C在劣弧OA上,連結BC交OA于D，當OC2＝CD·CB時，求點C的坐標；
（3）若點C在優弧OA上，作直線BC交x軸于D，是否存在△COB和△CDO相似，若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由．
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【題目】創客聯盟的隊員想用3D打印完成一幅邊長為6米的正方形作品ABCD，設計圖案如圖所示（四周陰影是四個全等的矩形，用材料甲打印；中心區是正方形MNPQ，用材料乙打印）．在打印厚度保持相同的情況下，兩種材料的消耗成本如下表：
材料 | 甲 | 乙 |
價格（元/米2） | 80 | 50 |
設矩形的較短邊AH的長為x米，打印材料的總費用為y元．
（1）MQ的長為 米（用含x的代數式表示）；
（2）求y關于x的函數解析式；
（3）當中心區的邊長不小于2米時，預備材料的購買資金2800元夠用嗎？請利用函數的增減性來說明理由．
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【題目】如右圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊上一點，以AB為直徑在正方形內作半圓
O，將△DCE沿DE翻折，點C剛好落在半圓O的點F處，則CE的長為( )
A. 
B. 
C. 
D. 
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【題目】閱讀材料：一元二次方程
，當
時，設兩根為
，
，則兩根與系數的關系為：
；
.
應用：
（1）方程
的兩實數根分別為，，則
______，
_____；
（2）若關于
的方程
的有兩個實數根，，求
的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若滿足
，求實數的值.
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