Question

【題目】我們定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如圖1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，試判斷△ABC是否是”等高底”三角形，請說明理由．

（2）問題探究：

如圖2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC關于BC所在直線的對稱圖形得到△A'BC，連結AA′交直線BC于點D．若點B是△AA′C的重心，求的值．

（3）應用拓展：

如圖3，已知l1∥l2，l1與l2之間的距離為2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上，點A在直線l2上，有一邊的長是BC的倍．將△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C，A′C所在直線交l2于點D．求CD的值．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是“等高底”三角形；（2）；（3）CD的值為，2，2．

【解析】

（1）過A作AD⊥BC于D，則△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得：根據“等高底”三角形的概念即可判斷.

（2）點B是的重心，得到設 則

根據勾股定理可得即可求出它們的比值.

（3）分兩種情況進行討論:①當時和②當時.

（1）△ABC是“等高底”三角形；

理由：如圖1，過A作AD⊥BC于D，則△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，

∵∠ACB=30°，AC=6，

∴

∴AD=BC=3，

即△ABC是“等高底”三角形；

（2）如圖2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，

∴

∵△ABC關于BC所在直線的對稱圖形是 ，

∴∠ADC=90°，

∵點B是的重心，

∴

設 則

由勾股定理得

∴

（3）①當時，

Ⅰ．如圖3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

∵“等高底”△ABC的“等底”為BC，l1∥l2，l1與l2之間的距離為2，.

∴

∴BE=2，即EC=4，

∴

∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C，

∴∠DCF=45°，

設

∵l1∥l2，

∴

∴ 即

∴

∴

Ⅱ．如圖4，此時△ABC等腰直角三角形，

∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到，

∴是等腰直角三角形，

∴

②當時，

Ⅰ．如圖5，此時△ABC是等腰直角三角形，

∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C，

∴

∴

Ⅱ．如圖6，作于E，則

∴

∴

∴△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°，得到時，點A'在直線l1上，

∴∥l2，即直線與l2無交點，

綜上所述，CD的值為