Question

23、（1）如圖①、圖②，△ABC是等邊三角形，點M是邊BC上任意一點，N是BA上任意一點，且BN=CM，AM與CN相交于Q，先用量角器測量圖①、圖②中∠CQM的度數，并用圖②證明你的猜想．
猜想：∠CQM=

60

度．
證明：

（2）如圖3，若M是CB延長線上一點，N是BA延長線上一點，仍然滿足△ABC為等邊三角形，CM=CN，相交于Q，則（1）中猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）∠CQM為60度，由題不難得△ABM≌△CAN，由∠CQM為△AQM的外角，得∠CQM=∠QAC+∠QCA，因為∠QCA=∠BAM，推出∠CQM=∠QAC+∠QCA=∠QAC+∠BAM=∠BAC=60°；
（2）猜想還成立，根據已知即可推出△BNC≌△CMQ，推出∠N=∠M，由∠CQM=∠N+∠NAQ，通過等量代換即可推出結論．

解答：解：（1）∠CQM為60度，
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠CAN=60°，
∵BN=CM，
∴AN=BM，
∴△ABM≌△CAN，
∴∠QCA=∠BAM，
∵∠CQM=∠QAC+∠QCA，
∴∠CQM=∠QAC+∠QCA=∠QAC+∠BAM=∠BAC=60°；

（2）成立，
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵CM=CN，
∴△BNC≌△CMQ，
∴∠N=∠M，
∵∠CQM=∠N+∠NAQ，
∴∠CNM=∠M+∠MAB=∠ABC=60°．

點評：本題主要考察等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質，關鍵在于求證相關三角形全等．