Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點O是邊BC上的動點，以點O為圓心，OB為半徑作圓O，交AB邊于點D，過點D作∠ODP＝∠B，交邊AC于點P，交圓O與點E．設OB＝x．

（1）當點P與點C重合時，求PD的長；

（2）設AP﹣EP＝y，求y關于x的解析式及定義域；

（3）聯結OP，當OP⊥OD時，試判斷以點P為圓心，PC為半徑的圓P與圓O的位置關系．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）以點P為圓心，PC為半徑的圓P與圓O的位置關系是相交

【解析】

（1）根據OB=OD，AB=AC以及∠ADO=∠B+∠BOD=∠ODP+∠ADP結合題目所給∠ODP=∠B即可求出答案

（2）分點P與C重合，P與E重合，D與A重合三種情況討論，求出相應的x值，再分兩個區間分別求出相應的解析式

（3）連接OP，求出兩圓的半徑，圓心距即可判斷兩圓的位置關系

（1）如圖1中，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，

∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，

∴BH＝CH＝3，AH＝4，

∵，

∴，

∴，

如圖2中，當點P與C重合時，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB＝∠ACB，

∵∠ADO＝∠B+∠BOD＝∠CDO+∠ADP，∠ODP＝∠B，

∴∠ADP＝∠BOD＝∠BAC，

∴PA＝PD＝5；

（簡單解法：易知∠A＝180°﹣2∠B，只要證明∠ADP＝180°﹣2∠B即可解決問題）

（2）如圖2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．

∵，

∵，

∴，

∴，

如圖3中，當P、E重合時，作EG⊥AD于G．

根據對稱性可知，B、E關于直線OD對稱，

∴，

∵，

∴，

解得，

當點D與A重合時，

∴，

當時，如圖4中，

∵，

∴，

當時，如圖5中，作PG⊥AB于G．

∵，

∴，

∴，

綜上所述，．

（3）如圖6中，連接OP．

連接OP，作DK⊥OB，ON⊥BD、PM⊥BC于M，設ON＝4k，則易知OB＝DO＝5k．BN＝DN＝3k，

，

由△DOK∽△OPM可得，可得，

∵k，

∴以點P為圓心，PC為半徑的圓P與圓O的位置關系是相交．