Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2x+c經過△ABC的三個頂點，其中點A(0，1)，點B(9，10)，AC∥x軸．

(1)求這條拋物線的解析式.

(2)求tan∠ABC的值.

(3)若點D為拋物線的頂點，點E是直線AC上一點，當△CDE與△ABC相似時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)E(4，1)或E(﹣3，1)．

【解析】

(1)將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式求得a、c的值即可；

(2)過點B作BH⊥AC交AC延長線于點H，過點C作CG⊥AB于點G，先證明△ABH和△ACG均為等腰直角三角形，再求出CG和BG的長，然后依據銳角三角函數的定義求解即可；

(3)過點D作DK⊥AC，垂足為K，先證明△DCK為等腰直角三角形，則∠DCK＝∠BAC，當或時，△CDE與△ABC相似，然后可求得CE的長．

解：(1)∵拋物線y＝ax2﹣2x+c經過點A(0，1)和點B(9，10)，

∴，解得．

∴這條拋物線的解析式為．

(2)過點B作BH⊥AC交AC延長線于點H，

∵AC∥x軸，A(0，1)，B(9，10)，∴H(9，1)，∴BH＝AH＝9．

又∵∠BHA＝90°，∴△HAB是等腰直角三角形，∴∠HAB＝45°．

∵AC∥x軸，A(0，1)，對稱軸為直線，∴C(6，1).

過點C作CG⊥AB，垂足為點G，

∵∠GAC＝45°，∠AGC＝90°，∴，∴．

又∵在Rt△ABH中，，∴．

∴在Rt△BCG中，．

(3)如圖2所示：過點D作DK⊥AC，垂足為K，

∵點D是拋物線的頂點，∴D(3，﹣2)．

∴K(3，1)，∴CK＝DK＝3．

又∵∠CKD＝90°，∴△CDK是等腰直角三角形，∴∠DCK＝45°

又∵∠BAC＝45°，

∴∠DCK＝∠BAC．

∴要使△CDE與△ABC相似，則點E在點C的左側．

當時，則，∴EC＝2，∴E(4，1)；

當時，則，∴EC＝9，∴E(﹣3，1)．

綜上所述，當△CDE與△ABC相似時，點E的坐標為(4，1)或(﹣3，1)．