Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F．將∠EDF以點D為旋轉中心旋轉，其兩邊DE′，DF′分別與直線AB，BC相交于點G，P，連接GP，當△DGP的面積等于3時，求旋轉角的大小并指明旋轉方向．

Answer 1

【答案】當∠EDF以點D為旋轉中心，順時針或逆時針旋轉60°時，△DGP的面積等于3.

【解析】

分∠EDF順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況，根據旋轉變換的性質解答即可．

解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，

∴∠ADC=120°.

又∠ADE=∠CDF=30°，

∴∠EDF=60°.

當∠EDF順時針旋轉時，由旋轉的性質可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°.

在Rt△ADE中，∠ADE=30°,AE=AD=1.

∴DE==.

同理，DF=.

在△DEG和△DFP中，∠EDG=∠FDP，DE＝DF，∠DEG＝∠DFP=90°，

∴△DEG≌△DFP.

∴DG=DP.

∴△DGP為等邊三角形.

易得S△DGP=DG2.

由DG2=3，又DG＞0，解得DG=2.

在Rt△DEG中，=,

∴∠DGE=30°.

∴∠EDG=60°.

∴當順時針旋轉60°時，△DGP的面積等于3.

同理可得，當逆時針旋轉60°時，△DGP的面積也等于3.

綜上所述，當∠EDF以點D為旋轉中心，順時針或逆時針旋轉60°時，△DGP的面積等于3.