Question

【題目】小孟同學將等腰直角三角板ABC（AC＝BC）的直角頂點C放在一直線m上，將三角板繞C點旋轉，分別過A，B兩點向這條直線作垂線AD，BE，垂足為D，E．

（1）如圖1，當點A，B都在直線m上方時，猜想AD，BE，DE的數量關系是　 　；

（2）將三角板ABC繞C點按逆時針方向旋轉至圖2的位置時，點A在直線m上方，點B在直線m下方．（1）中的結論成立嗎？請你寫出AD，BE，DE的數量關系，并證明你的結論．

（3）將三角板ABC繼續繞C點逆時針旋轉，當點A在直線m的下方，點B在直線m的上方時，請你畫出示意圖，按題意標好字母，直接寫出AD，BE，DE的數量關系結論　 　．

Answer 1

【答案】（1）DE＝BE+AD；（2）DE＝AD﹣BE，證明詳見解析；（3）DE＝AD+BE或DE＝|AD﹣BE|．

【解析】

（1）先判斷出∠CAD=∠BCE，進而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用線段的和即可得出結論；
（2）先判斷出∠CAD=∠BCE，進而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用線段的差即可得出結論；
（3）先判斷出∠CAD=∠BCE，進而得出△ACD≌△CBE，即可得出AD=CE，CD=BE，最后利用線段的和差即可得出結論．

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠ACD+∠BCE＝90°，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∴△ACD≌△CBE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴DE＝CD+CE＝BE+AD；

故答案為：DE＝BE+AD；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠ACD+∠BCE＝90°，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∴△ACD≌△CBE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴

（3）如圖3，

當點A，B在直線m同側時，同（1）的方法得，△ACD≌△BCE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴DE＝CE+CD＝AD+BE，

Ⅰ、當點A，B在直線m異側時，如圖4，同（2）的方法得，△ACD≌△BCE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∴

Ⅱ、如圖5，

同Ⅰ的方法得，

故答案為：DE＝AD+BE或