Question

【題目】問題探究

（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1,連接AD、BE,求的值；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，過點A作AM⊥AB，點P是射線AM上一動點，連接CP，做CQ⊥CP交線段AB于點Q，連接PQ，求PQ的最小值；

（3）李師傅準備加工一個四邊形零件，如圖3，這個零件的示意圖為四邊形ABCD，要求BC=4cm，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD，請你幫李師傅求出這個零件的對角線BD的最大值。

圖3

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）+.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質可得BC=3，CE=，∠ACB=∠DCE=45°，可證△ACD∽△BCE，可得＝；

（2）由題意可證點A，點Q，點C，點P四點共圓，可得∠QAC=∠QPC，可證△ABC∽△PQC，可得，可得當QC⊥AB時，PQ的值最小，即可求PQ的最小值；

（3）作∠DCE=∠ACB，交射線DA于點E，取CE中點F，連接AC，BE，DF，BF，由題意可證△ABC∽△DEC，可得，且∠BCE=∠ACD，可證△BCE∽△ACD，可得∠BEC=∠ADC=90°，由勾股定理可求CE，DF，BF的長，由三角形三邊關系可求BD的最大值．

（1）∵∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1，

∴BC=3，CE=，∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠BCE=∠ACD，

∵＝＝，＝，

∴＝，∠BCE=∠ACD，

∴△ACD∽△BCE，

∴＝；

（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，

∴AC=，AB=2AC=，

∵∠QAP=∠QCP=90°，

∴點A，點Q，點C，點P四點共圓，

∴∠QAC=∠QPC，且∠ACB=∠QCP=90°，

∴△ABC∽△PQC，

∴，

∴PQ=×QC=QC，

∴當QC的長度最小時，PQ的長度最小，

即當QC⊥AB時，PQ的值最小，

此時QC=2，PQ的最小值為；

（3）如圖，作∠DCE=∠ACB，交射線DA于點E，取CE中點F，連接AC，BE，DF，BF，

，

∵∠ADC=90°，AD=CD，

∴∠CAD=45°，∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°，

∴△ABC∽△DEC，

∴，

∵∠DCE=∠ACB，

∴∠BCE=∠ACD，

∴△BCE∽△ACD，

∴∠BEC=∠ADC=90°，

∴CE=BC=2，

∵點F是EC中點，

∴DF=EF=CE=，

∴BF==，

∴BD≤DF+BF=+