Question

【題目】如圖，在中，和的平分線相交于點，過點作 交于，交于，過點作于，下列四個結論：

①； ②；

③點到各邊的距離相等；

④設，，則.

其中正確的結論有（ ）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，根據角平分線的定義與三角形內角和定理，即可求得②∠BGC=90°+∠A正確；由平行線的性質和角平分線的定義得出△BEG和△CFG是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正確；由角平分線的性質得出點G到△ABC各邊的距離相等，故③正確；由角平分線定理與三角形面積的求解方法，即可求得③設GD=m，AE+AF=n，則S△AEF=mn，故④錯誤．

解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，
∴∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠GBC+∠GCB=90°-∠A，
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=90°+∠A；故②正確；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，
∴∠GBC=∠GBE，∠GCB=∠GCF，
∵EF∥BC，
∴∠GBC=∠EGB，∠GCB=∠FGC，
∴∠EGB=∠GBE，∠FGC=∠GCF，
∴BE=GE，CF=GF，
∴EF=GE+GF=BE+CF，
故①正確；
過點G作GM⊥AB于M，作GN⊥BC于N，連接GA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，
∴GN=GD=GM=m，
∴S△AEF=S△AGE+S△AGF=AEGM+AFGD=GD（AE+AF）=mn；故④錯誤；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，
∴點G到△ABC各邊的距離相等，故③正確．
故選：B．