Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，D是劣弧AC中點，BD交AC于點E．

（1）求證：AD2=DEDB；

（2）若BC=13，CD=5，求DE的長．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）由D是劣弧AC的中點，可得∠DAC=∠ABD，即可證明△ABD∽△AED，根據相似三角形的對應邊成比例即可得出答案；

（2）由D是劣弧AC中點，可得AD=CD＝5，根據CB是直徑，可得△BCD是直角三角形，由勾股定理求出BD的長，代入（1）中的AD2=DEDB即可求出DE的長．

（1）證明：∵D是劣弧AC的中點，

∴AD=DC，

∴∠ABD=∠DAC，

又∵∠ADB=∠EDA，

∴△ABD∽△EAD，

∴AD：DE=DB：AD，

∴AD2=DEDB；

（2）∵D是劣弧AC的中點，

∴AD=DC=5，

∵CB是直徑，

∴△BCD是直角三角形，

∴BD=；

∵AD2=DEDB，

∴52=12×DE，

解得DE=.