Question

【題目】如圖，在平面直角系xOy中，直線AB交x軸正半軸于點A，交y軸負半軸于點B，B點的坐標為B（0，﹣6），點C在線段OA上，將△ABC沿直線BC翻折，點A與y軸上的點D（0，4），恰好重合．

（1）求A點、C點的坐標；

（2）在y軸是否存在一點H，使得△HAB和△ABC的面積相等？若存在，求出滿足條件的點H的坐標；若不存在，請說明理由

（3）已知點E（0，3），P是直線BC上一動點（P不與B重合），連接PD、PE，求△PDE周長的最小值，并求出此BP長．

Answer 1

【答案】（1）A（8，0），C（3，0）；（2）存在，（0，﹣），（0，﹣）；（3）△PDE的周長的最小值+1，.

【解析】

（1）由折疊的性質得BD＝AB＝10，AC＝DC，由勾股定理可求AO＝8，AC＝5，即可求點A，點C坐標；

（2）△HAB和△ABC的面積相等，則點H在直線m、n與y軸的交點上，求出直線m、n的表達式即可求解；

（3）連接AE交BC于點P，則此時△PDE的周長取得最小值，即可求解．

解：（1）∵B（0，﹣6），D（0，4），

∴BD＝10，

∵將△ABC沿直線BC翻折，

∴BD＝AB＝10，AC＝DC，

∴AO＝＝＝8，

∴點A（8，0）

∵CD2＝DO2+CO2，

∴AC2＝16+（8﹣AC）2，

∴AC＝5，

∴CO＝3，

∴點C（3，0）

（2）過點C作直線m∥AB，

∵B點的坐標為B（0，﹣6），點A坐標（8，0），

∴直線AB的解析式為：y＝x﹣6

∵直線m∥AB，

∴設直線m的解析式為：y＝x+b，且過點C，

∴0＝×3+b，

∴b＝﹣

直線m的解析式為：y＝x﹣，

在直線AB下方與直線m等距離處作直線n，

則直線n的表達式為：y＝x﹣，

∵△HAB和△ABC的面積相等，則點H在直線m、n與坐標軸的交點上，

∴點H坐標為（0，﹣），（0，﹣）；

（3）∵點A與點D關于BC對稱，

∴連接AE交BC于點P，

則此時△PDE的周長取得最小值，

∵點A（8，0），點E（0，3）

∴AE＝

∴△PDE的周長的最小值＝DE+DP+PE＝+1

由點E、A的坐標，同理可得：直線AE的表達式為：y＝﹣x+3，

同理直線BC的表達式為：y＝2x﹣6，

∴

∴

∴點P（，）

∵點B（0，﹣6）

∴BP＝.