Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一點，CD=3，點P從B點出發沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向右運動.設點P的運動時間為t.連結AP.

（1）當t=3秒時，求AP的長度(結果保留根號)；

（2）當△ABP為等腰三角形時，求t的值；

（3）過點D做DE⊥AP于點E.在點P的運動過程中，當t為何值時，能使DE=CD？

Answer 1

【答案】（1）AP=；（2）t=或16或5；（3）t=5或11.

【解析】

（1）根據t=3求出BP的長度，進而得到CP的長度，根據勾股定理即可得出答案；

（2）分三種情況進行討論：①若BA=BP②若AB=AP③若PA=PB分別計算即可得出答案；

（3）分情況進行討論：①若P在C點的左側②若P在C點的右側，根據勾股定理即可得出答案.

（1）當t=3時，BP=6，則CP=10

又∵AC=8

∴AP===

（2）∵BC=16，AC=8

∴BA=

①若BA=BP，則 ；

②若AB=AP，則CP=，BP=32，t=16；

③若PA=PB，則BP=AP=2t，CP=16-2t

在直角三角形ACP中，

，解得：t=5

綜上所述：t=或16或5.

（3）分類討論

∵DE=CD=3，AD=AC-CD=8-3=5

∴AE=4

①若P在C點的左側，則BP=2t

∴CP=16-2t.

又DE=DC且∠DEP=∠DCP=90°

∴D在∠EPC的角平分線上故PE=PC=16-2t

∴AP=PE+AE=20-2t

則

解得t=5

②若P在C點的右側，則BP=2t

∴CP=2t-16

又DE=DC且∠DEP=∠DCP=90°

∴D在∠EPC的角平分線上故PE=PC=2t-16

∴AP= PE+AE=2t-12

解得t=11

綜上所述：t=5或11.