Question

【題目】已知，點E、F分別在直線AB，CD上，點P在AB、CD之間，連結EP、FP，如圖1，過FP上的點G作GH∥EP，交CD于點H，且∠1=∠2．

（1）求證：AB∥CD；

（2）如圖2，將射線FC沿FP折疊，交PE于點J，若JK平分∠EJF，且JK∥AB，則∠BEP與∠EPF之間有何數量關系，并證明你的結論；

（3）如圖3，將射線FC沿FP折疊，將射線EA沿EP折疊，折疊后的兩射線交于點M，當EM⊥FM時，求∠EPF的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠BEP+∠EPF=180.證明見解析；（3）∠EPF=135

【解析】試題分析：（1）延長FP交AB于點Q，根據平行線性質可得∠2=∠3，再由∠1=∠2可得∠1=∠3，即可證明結論；（2）過點P作PM∥CD，即可證得JK∥AB∥CD∥PM，根據平行線的性質解答即可；（3）作PG∥AB，MH∥AB，則PG∥MH∥AB∥CD，根據平行線的性質進行分析解答即可．

試題解析：

延長EP交CD于點Q

∵GH∥PE，

∴∠2=∠3.

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠3.

∴AB∥CD.

(2)過點P作PM∥CD，又AB∥CD，∴PM∥AB.

∴∠FPM=∠1，∠EPM=∠2，

∴∠FPE=∠FPM+∠EPM=∠1+∠2.

又∵JK∥AB∥CD,

同理可證:∠FJE=∠CFJ+∠2.

又∵∠FJK=∠CFJ=2∠1=∠3=∠2,

∵∠BEP+∠3=180,

∴∠BEP+2∠1=180,

∴∠BEP+2(∠EPF-∠2)=180,

∴∠BEP+2∠EPF-2∠2=180,

∴∠BEP+2∠EPF-2(180-∠BEP)=180.

即：

（3）作PG∥AB，MH∥AB，則PG∥MH∥AB∥CD.

∵FM⊥EM,∴∠EMF=90

易證：∠1+∠2=∠EMF=90,∠EPF=∠3+∠4，

又∵∠3=∠PFM,∠4=∠PEM,

∴∠1=180-2∠3，∠2=180-2∠4.

∴180-2∠3+180-2∠4=90，

∴2∠3+2∠4=270.

∴∠3+∠4=135，

∴∠EPF=135