Question

【題目】如圖，在平面直角坐標中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA＝7，AB＝4，∠COA＝60°，點P為x軸上的一個動點，但是點P不與點0、點A重合．連接CP，D點是線段AB上一點，連接PD．

（1）求點B的坐標；

（2）當∠CPD＝∠OAB，且，求這時點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1) 點B的坐標為（5，）;(2) 點P坐標為（1，0）或（6，0）.

【解析】

（1）依題意可得∠BAQ＝∠COA，已知AB＝4，∠COA度數利用三角函數可求出BQ，AQ，OQ的值．

（2）利用相似三角形的判定證明△OCP∽△APD，根據等比性質可求出AP，OP的值．

解：（1）作BQ⊥x軸于Q．

∵四邊形OABC是等腰梯形，

∴∠BAQ＝∠COA＝60°

在Rt△BQA中，BA＝4，

BQ＝ABsin∠BAO＝4×sin60°＝

AQ＝ABcos∠BAO＝4×cos60°＝2，

∴OQ＝OA﹣AQ＝7﹣2＝5

點B在第一象限內，∴點B的坐標為（5， ）；

（2）∵∠CPA＝∠OCP+∠COP，

即∠CPD+∠DPA＝∠COP+∠OCP，

而∠CPD＝∠OAB＝∠COP＝60°，

∴∠OCP＝∠APD．

∵∠COP＝∠PAD，

∴△OCP∽△APD．

∴ ．

∴OPAP＝OCAD．

∵ ，且AB＝4，

∴BD＝ AB＝ ，

AD＝AB﹣BD＝4﹣ ＝ ．

∵AP＝OA﹣OP＝7﹣OP，

∴OP（7﹣OP）＝4×，

解得：OP＝1或6．

∴點P坐標為（1，0）或（6，0）．

故答案為：(1) 點B的坐標為（5，）;(2) 點P坐標為（1，0）或（6，0）.