Question

【題目】小明在研究“利用木板余料裁出最大面積的矩形”時發現：如圖1，是一塊直角三角形形狀的木板余料，以為內角裁一個矩形當DE，EF是中位線時，所裁矩形的面積最大若木板余料的形狀改變，請你探究：

如圖2，現有一塊五邊形的木板余料ABCDE，，，，，現從中裁出一個以為內角且面積最大的矩形，則該矩形的面積為______．

如圖3，現有一塊四邊形的木板余料ABCD，經測量，，，且，從中裁出頂點M，N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，則該矩形的面積為______．

Answer 1

【答案】400， 486．

【解析】

（1）如圖2中，延長AE交CD的延長線于F．則四邊形ABCF是矩形，把問題轉化為三角形內接矩形即可解決問題．

（2）構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題即可．

解：（1）如圖2中，延長AE交CD的延長線于F．則四邊形ABCF是矩形．

∴AF＝BC＝30cm，AB＝CF＝20cm，

∵AE＝20cm，CD＝10cm，

∴EF＝DF＝10cm，

∵∠F＝90°，

∴∠AEM＝∠FED＝∠FDE＝∠CDN＝45°，

∴AM＝AE＝20cm，CD＝CN＝10cm，

∴BM＝40cm，BN＝40cm，

∴△BMN的內接矩形的面積的最大值＝20×20＝400（cm2）．

（2）如圖3中，

∵四邊形MNPQ是矩形，tanB＝tanC＝ ，

∴可以假設QM＝PN＝4k，BM＝CN＝3k，

∴MN＝54﹣6 k，

∴S矩形MNPQ＝4k（54﹣6k）＝﹣24（k﹣ ）2+486，

∵﹣24＜0，

∴k＝ 時，矩形MNPQ的面積最大，最大值為486，

此時BQ＝PC＝5k＝ ，符合題意，

∴矩形MNPQ的面積的最大值為486cm2．

故答案為400，486．