Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，連接CD，∠BCD=∠A.

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若BC=5，BD=3，求點O到CD的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OE=

【解析】

（1）根據圓周角定理得到∠ADC=90°，得到∠A+∠ACD=90°，求得∠ACB=90°，于是得到結論；
（2）過O作OE⊥CD于E，根據相似三角形的性質得到，根據垂徑定理得到E為CD的中點，根據三角形的中位線的性質即可得到結論．

（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°

∠A+∠ACD=90°，

∵∠BCD=∠A，

∴∠BCD+∠ACD=90°

∴∠ACB=90°，

∴OC⊥BC，

∵OC是⊙O的半徑，

∴BC是⊙O的切線.

（2）解：過點O作OE⊥CD于點E，如圖所示

在Rt△BCD中，

∵BC=5，BD=3，

∴CD=4

∵∠ADC=∠CDB=90°，∠BCD=∠A.

∴Rt△BDC∽Rt△CDA.

∴，

∴

∵OE⊥CD，

∴E為CD的中點

又∵點O是AC的中點，

∴OE=

∴點O到CD的距離是