Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB—BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在AB上以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求線段AC的長(zhǎng)．

（2）求線段BP的長(zhǎng)．（用含t的代數(shù)式表示）

（3）設(shè)△APQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）連結(jié)PQ，當(dāng)PQ與△ABC的一邊平行或垂直時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，BP=10-5t；當(dāng)2＜t≤4時(shí)，BP=3·(t-2)=3t-6；（3）；（4）t=0或t=4或或或.

【解析】

（1）利用勾股定理可求AC；

（2）由題意可知，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)P在AB上，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在BC上（不包含B），分情況求解即可；

（3）分情況討論：①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，分別用t表示出AQ和△APQ中邊AQ上的高，利用三角形面積公式求解即可；

（4）分四種情況討論：①當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，②當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，③當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，④當(dāng)PQ∥AB時(shí)，根據(jù)題意，分別利用同角的三角函數(shù)相等和相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可.

解：（1）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，

∴；

（2）由題意可知，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)P在AB上，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在BC上（不包含B），

∴當(dāng)0≤t≤2時(shí)，BP=10-5t，

當(dāng)2＜t≤4時(shí)，BP=3·(t-2)=3t-6；

（3）分兩種情況討論：

①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，

由題意得：AP=5t，CQ=3t，則AQ=8-3t，

∵sin∠PAE=，

∴PE=3t，

∴；

②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，

∵BP=3t-6，

∴CP=12-3t，

∴，

綜上所述：；

（4）分四種情況討論：

①由題意可得，當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，t=0或t=4；

②當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，如圖，

∵AP=5t，AQ=8-3t，

∴，

∴，

解得：；

③當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，如圖，

∵AP=5t，AQ=8-3t，

∴，

∴，

解得：；

④當(dāng)PQ∥AB時(shí)，易得△CPQ∽△CBA，如圖，

∵CP=12-3t，CQ=3t，

∴，即，

解得：，

綜上所述，當(dāng)t=0或t=4或或或時(shí)，PQ與△ABC的一邊平行或垂直.