Question

【題目】已知：如圖①，在矩形中，，垂足是.點是點關于的對稱點，連接．

（1）求和的長；

（2）若將沿著射線方向平移，設平移的距離為(平移距離指點沿方向所經過的線段長度)．當點分別平移到線段上時，直接寫出相應的的值．

（3）如圖②，將繞點順時針旋轉一個角，記旋轉中為，在旋轉過程中，設所在的直線與直線交于點，與直線交于點．是否存在這樣的兩點，使為等腰三角形？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在組符合條件的點、點，使為等腰三角形； 的長度分別為或或或．

【解析】

（1）利用矩形性質、勾股定理及三角形面積公式求解；
（2）依題意畫出圖形，如圖①-1所示．利用平移性質，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；
（3）在旋轉過程中，等腰△DPQ有4種情形，分別畫出圖形，對于各種情形分別進行計算即可．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，
由勾股定理得：BD=，
∵S△ABDBDAE=ABAD，
∴AE=，
∵點F是點E關于AB的對稱點，
∴AF=AE，BF=BE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=3，AE，

由勾股定理得：BE；

（2）設平移中的三角形為△A′B′F′，如圖①-1所示：

由對稱點性質可知，∠1=∠2．BF=BE，

由平移性質可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′，

①當點F′落在AB上時，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，

根據平移的性質知：∠1=∠4，

∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′，即；
②當點F′落在AD上時，
∵AB∥A′B′，AB⊥AD，
∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D為等腰三角形，
∴B′D=B′F′，

∴BB′=BD-B′D=5-，即m；

（3）存在．理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，

∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，

∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，

∴∠2=∠BAE，

∵點F是點E關于AB的對稱點，
∴∠1=∠BAE，

∴∠1=∠2，

在旋轉過程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：
①如圖③-1所示，點Q落在BD延長線上，且PD=DQ，

則∠Q=∠DPQ，
∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=F′A′+A′Q=，

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=，

∴DQ=BQ-BD=；

②如圖③-2所示，點Q落在BD上，且PQ=DQ，

則∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，
則此時點A′落在BC邊上．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′-A′Q=-BQ，
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
即：，

解得：，

∴DQ= BD-BQ=5-；

③如圖③-3所示，點Q落在BD上，且PD=DQ，

則∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，

∴∠4=90°-∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°-∠1，

∴∠A′QB=∠4=90°-∠1，

∴∠A′QB=∠A′BQ，
∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=A′Q-A′F′=3-，

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=，

∴DQ=BQ-BD=；

④如圖④-4所示，點Q落在BD上，且PQ=PD，

則∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=3，
∴DQ=BD-BQ=5-3=2．

綜上所述，存在4組符合條件的點P、點Q，使△DPQ為等腰三角形，DQ的長度分別為：或或或．