Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE.

（1）求證:四邊形ABCD是菱形；（2）若AE＝5，OE＝3，求線段CE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先判斷出∠OAB=∠DCA，進而判斷出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出結論；
（2）四邊形ABCD是菱形可得OA=OC，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可知，在Rt△AEC中，AC=2OE=6，再由勾股定理求出CE.．

解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC為∠DAB的平分線，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AD=AB，
∴ABCD是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC，
∵CE⊥AB，OE=3，
∴AC=2OE=6，
在Rt△AEC中，

∴CE===.