Question

如圖，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=，

（1）判斷△ABC的形狀并證明你的結論；
（2）求⊙O的周長

Answer 1

（1）見解析（1）4π

試題分析：利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀（2）由三角形內角和得∠ABC=60°，所以△ABC是等邊三角形，作OE⊥AC，連接OA，由垂徑定理得，AE=CE=AC=cm，再由余弦的概念求得半徑OA的長，由圓的周長公式求得周長．
解：（1）△ABC為等邊三角形證明如下：
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所對的圓周角
∴∠BAC=∠BDC
∵∠ACB=∠BDC=60° ∴∠BAC =∠ACB =60°
∴△ABC為等邊三角形……………………3分
（2）過O點作OE⊥AC于E點，連接OA
∵AC= ∴AE=CE=
∵△ABC為等邊三角形
∴∠OAE=∠BAC=30°  設OE=x，則OA=2x,
在Rt△OAE中，有，解之得x=1
∴OA=2  即⊙O的周長=2×2×π=4πcm
點評：本題考查了圓周角定理．同弧所對的圓周角相等，并且等于它所對的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的判定方法．本題利用了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，垂徑定理，余弦的概念，圓周長公式求解．