Question

【題目】已知:△ABC為等邊三角形

（1）若D為△ABC外一點，滿足∠CDB=30,求證：

（2）若D為△ABC內一點，DC=3,DB=4,DA=5,求∠CDB的度數

（3）若D為△ABC內一點，DA=4,DB=,DC=則AB= (直接寫出答案)

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）150；（3）

【解析】

(1)以BD為邊作等邊△BDQ，易證△ABD≌△CBQ得AD=CQ再證∠CDQ=90得.

(2) 把△ACD繞點C順時針旋轉60°得到△BCQ，如圖，連接DQ，根據旋轉的性質得∠DCQ=60°，CD=CQ=3，QB=AD=5，則可判斷△CDQ為等邊三角形，所以DQ=4，∠BDE=60°，再利用勾股定理的逆定理證明△BDQ為直角三角形，∠QDB=90°，從而得到∠CDB=150°．

(3)同②可得∠ADB=150°，解構造30°直角三角形即可求出AB.

(1)證明：以BD為邊作等邊△BDQ，連接QC，

∵:△ABC、△BDQ都是等邊三角形，

∴∠ABC=∠DBQ=∠BDQ=60°，BA=BC，BD=BQ,

∴∠ABD=∠CBQ，

在△ABD和△CBQ中

，

∴△ABD≌△CBQ(SAS)，

∴AD=CQ

又∵∠CDB=30，

∴∠CDQ=90

∴

∴

（2）解： 把△ACD繞點C逆時針旋轉60°得到△BCQ，如圖，連接DQ，

∵△ABC為等邊三角形，

∴BA=BC，∠ABC=60°，

∴∠QCD=60°，CD=CQ=3，QB=AD=5，

∴△CDQ為等邊三角形，

∴DE=4，∠DQC=60°，

在△BDQ中，∵DQ=3，BD=4，BQ=5，

∴DQ2+BD2=BQ2，

∴△DEC為直角三角形，∠QDC=90°，

∴∠CDB=60°+90°=150°．

(3)AB=

解：把△ACD繞點A逆時針旋轉60°得到△BCQ，如圖，連接DQ，

同可得②BQ= DC=，AD=AQ=DQ=4，DB=，

∴DQ2+BD2=BQ2，∠ADB=150°，

過B點作BH垂直AD，交AD延長線于H，

∴∠BDH=30°，

∴BH=BD=，DH=3，

∴AH=AD+DH=3+4=7，

∴AB===

故答案為：