Question

如圖，拋物線的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3）點D在x軸正半軸上，且線段OD=OC
（1）求直線CD的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點的移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）；（2）y=x²+2x+1; (3)證明見解析；（4）．

解析試題分析：（1）利用待定系數法求出直線解析式；
（2）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）關鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形；
（4）如圖所示，作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．利用軸對稱的性質、兩點之間線段最短可以證明此時△PCF的周長最小．如圖③所示，利用勾股定理求出線段C′C″的長度，即△PCF周長的最小值．
（1）C（0，1），D（1，0）
∴直線CD的解析式為；
（2）設拋物線解析式為y=a（x－2）²+3，
易得y=（x－2）²+3=x²+2x+1
（3）OC=OD，OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，
對稱軸x=2與CE交于點M，M（2，1）
易知△QMC與△QME是等腰直角三角形
∴△ CQE也是等腰直角三角形
∴△CEQ∽△CDO
（4）存在。
如圖作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱性得：
PC=PC′    CF=C″F
C，C′關于直線QE對稱
C′（4，5）
又C″（－1，0）   C′C″=
∴△PCF的周長最小值是

考點：二次函數綜合題．