Question

【題目】如圖，半圓O的直徑AB=4，以長為2的弦PQ為直徑，向點O方向作半圓M，其中P點在 上且不與A點重合，但Q點可與B點重合．
發現： 的長與 的長之和為定值l，求l：

Answer 1

【答案】解：如圖1，連接OP、OQ，
∵AB=4，
∴OP=OQ=2，
∵PQ=2，
∴△OPQ是等邊三角形，
∴∠POQ=60°，
∴ = = ，
又∵半圓O的長為： π×4=2π，
∴ + =2π﹣ π= ，
∴l= π；
思考：點M與AB的最大距離為 ， 此時點P，A間的距離為 ；
點M與AB的最小距離為 ， 此時半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為 ；
|2|| ﹣
探究：當半圓M與AB相切時，求 的長．
（注：結果保留π，cos35°= ，cos55°= ）
解：當半圓M與AB相切時，
此時，MC=1，
如圖4，當點C在線段OA上時，

在Rt△OCM中，
由勾股定理可求得：OC= ，
∴cos∠AOM= = ，
∴∠AOM=35°，
∵∠POM=30°，
∴∠AOP=∠AOM﹣∠POM=5°，
∴ = = ，
當點C在線段OB上時，

此時，∠BOM=35°，
∵∠POM=30°，
∴∠AOP=180°﹣∠POM﹣∠BOM=115°
∴ = = ，
綜上所述，當半圓M與AB相切時， 的長為 或 ．
【解析】解：發現： 思考：如圖2，過點M作MC⊥AB于點C，
連接OM，

∵OP=2，PM=1，
∴由勾股定理可知：OM= ，
當C與O重合時，
M與AB的距離最大，最大值為 ，
連接AP，
此時，OM⊥AB，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OP，
∴△AOP是等邊三角形，
∴AP=2，
如圖3，當Q與B重合時，
連接DM，

∵∠MOQ=30°，
∴MC= OM= ，
此時，M與AB的距離最小，最小值為 ，
設此時半圓M與AB交于點D，
DM=MB=1，
∵∠ABP=60°，
∴△DMB是等邊三角形，
∴∠DMB=60°，
∴扇形DMB的面積為： = ，
△DMB的面積為： MCDB= × ×1= ，
∴半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為： ﹣ ；