Question

【題目】（1）閱讀理解

利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問題是一種常用的方法.如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，.求的度數(shù).

為利用已知條件，不妨把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，連接，則的長為_______；在中，易證，且的度數(shù)為________，綜上可得的度數(shù)為_______；

（2）類比遷移

如圖，點是等腰內(nèi)的一點，，，，.求的度數(shù)；

（3）拓展應(yīng)用

如圖，在四邊形中，，，，，請直接寫出的長.

Answer 1

【答案】（1）2, 30°，90°；（2）90°；（3）2.

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定可知△CP′P是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)知∠CP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，繼而可得答案．

（2）如圖2，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C，連接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是等腰直角三角形，所以∠APC=90°；

（3）如圖3，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，根據(jù)勾股定理求CG的長，就可以得BD的長．

（1）把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP'C，連接PP′（如圖1）．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等邊三角形；

∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，

在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（）2=4=PP′2；

∴△AP′P是直角三角形；

∴∠P′AP=90°．

∵PA=PC，

∴∠AP′P=30°；

∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．

（2）如圖2，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C，連接PP′．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等腰直角三角形；

∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=，PB=AP'=，

在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（）2+（）2=4=AP2；

∴△AP′P是等腰直角三角形；

∴∠AP′P=90°．

∴∠APP'=45°

∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°

（3）如圖3，

∵AB=AC，

將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，

∵∠BAD=∠CAG，

∴∠BAC=∠DAG，

∵AB=AC，AD=AG，

∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，

∴△ABC∽△ADG，

∵AD=2AB，

∴DG=2BC=10，

過A作AE⊥BC于E，

∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，

∴∠ADG+∠ADC=90°，

∴∠GDC=90°，

∴CG=，

∴BD=CG=2．