Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與直線y＝相交于點A1，A2，將拋物線y1向右平移后得拋物線y2，y2與直線y＝x交于點A2，A3，再將拋物線y2繼續向右平移得拋物線y3，y3與直線y＝x交于點A3，A4……依此類推，請回答以下問題：

（1）求點A1，點A2的坐標．

（2）求拋物線y2的解析式．

（3）求AnAn+1的長（用含n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）點A1的坐標為，點A2的坐標（2，1）；（2）y＝（x﹣3）2；（3）.

【解析】

根據直線的解析式與拋物線的解析式直接列方程求解可解答第一問；先通過點A1和點A2的縱坐標可求出y1向右平移到y2的距離，進而可求出y2的對稱軸位置，進而可求出y2解析式；通過找出前幾個A1A2、A2A3、A3A4找出規律總結出AnAn+1的長度表達式.

解：（1）解方程組得，，

∴點A1的坐標為（，），點A2的坐標（2，1）；

（2）∵＝（x﹣1）2，

∴設拋物線y2的解析式為y＝（x﹣1﹣m）2，

把點A2的坐標（2，1）代入得，1＝（2﹣1﹣m）2，

解得：m＝2，m＝0（不合題意舍去），

∴拋物線y2的解析式為y＝（x﹣3）2；

（3）解方程組得，，

∴A3（，），

∴拋物線y3的解析式y＝（x﹣6）2，

∴A4（8，4），

∴A1A2＝，A2A3＝，A3A4＝…，

∴AnAn+1的長＝．